При вра­ще­нии пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка во­круг од­но­го из ка­те­тов по­лу­чит­ся конус.

Ответ: б).

При вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка около одной из сто­рон по­лу­ча­ет­ся ци­линдр.

Ответ: а).

При вра­ще­нии та­ко­го тре­уголь­ни­ка во­круг одной из сто­рон по­лу­чат­ся два рав­ных ко­ну­са, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­рых равен вы­со­те тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты этих ко­ну­сов равны по­ло­ви­не сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. Имеем:

Тогда объём по­лу­чен­ной фи­гу­ры равен:

Ответ:

При вра­ще­нии та­ко­го тре­уголь­ни­ка во­круг одной из сто­рон по­лу­чат­ся два рав­ных ко­ну­са, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­рых равен вы­со­те тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты этих ко­ну­сов равны по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка. Имеем:

Тогда объём по­лу­чен­ной фи­гу­ры равен:

Ответ:

За­дан­ный ци­линдр по­лу­чит­ся при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка во­круг сто­ро­ны CD, так как в се­че­нии сто­ро­на AD удво­ит­ся и будет равна сто­ро­не CD, то есть осе­вым се­че­ни­ем будет яв­лять­ся квад­рат. Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Ответ: г).

За­дан­ный ци­линдр по­лу­чит­ся при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка во­круг сто­ро­ны MN, так как в се­че­нии сто­ро­на NP удво­ит­ся и будет равна сто­ро­не MN, то есть осе­вым се­че­ни­ем будет яв­лять­ся квад­рат. Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ответ: б).

Чтобы при вра­ще­нии тре­уголь­ни­ка ABC во­круг ка­те­та AB по­лу­чал­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, катет BC дол­жен быть равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AC. Таким об­ра­зом, нуж­ный тре­уголь­ник изоб­ра­жен на ри­сун­ке в).

Ответ: в).

Чтобы при вра­ще­нии тре­уголь­ни­ка ABC во­круг ка­те­та AB по­лу­чал­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, катет BC дол­жен быть равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AC. Таким об­ра­зом, нуж­ный тре­уголь­ник изоб­ра­жен на ри­сун­ке в).

Ответ: в).

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на пря­мую AD и сразу от­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABH и DCK равны по ка­те­ту  — вы­со­те ромба и ги­по­те­ну­зе  — его сто­ро­не. Зна­чит, при их вра­ще­нии во­круг пря­мой AD по­лу­ча­ют­ся ко­ну­сы оди­на­ко­во­го объ­е­ма.

Рас­смот­рим те­перь тело вра­ще­ния, по­лу­ча­е­мое вра­ще­ни­ем ромба во­круг пря­мой AD. Оно со­сто­ит из ко­ну­са  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка ABH и ци­лин­дра  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, из ко­то­ро­го уда­лен такой же конус  — ре­зуль­тат вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка DCK). Зна­чит, объем его равен объ­е­му ци­лин­дра, по­лу­чен­но­го вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, то есть

Сто­ро­на ромба яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой в тре­уголь­ни­ке, ка­те­ты ко­то­ро­го  — по­ло­ви­ны его диа­го­на­лей, по­это­му

Пло­щадь ромба равна с одной сто­ро­ны а с дру­гой  — от­ку­да

Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на пря­мую AD и сразу от­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABH и DCK равны по ка­те­ту  — вы­со­те ромба и ги­по­те­ну­зе  — его сто­ро­не. Зна­чит, при их вра­ще­нии во­круг пря­мой AD по­лу­ча­ют­ся ко­ну­сы оди­на­ко­во­го объ­е­ма.

Рас­смот­рим те­перь тело вра­ще­ния, по­лу­ча­е­мое вра­ще­ни­ем ромба во­круг пря­мой AD. Оно со­сто­ит из ко­ну­са  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка ABH и ци­лин­дра  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, из ко­то­ро­го уда­лен такой же конус  — ре­зуль­тат вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка DCK. Зна­чит, объем его равен объ­е­му ци­лин­дра, по­лу­чен­но­го вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, то есть

Сто­ро­на ромба яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой в тре­уголь­ни­ке, ка­те­ты ко­то­ро­го  — по­ло­ви­ны его диа­го­на­лей, по­это­му

Пло­щадь ромба равна с одной сто­ро­ны а с дру­гой  — от­ку­да

Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Обо­зна­чим за H про­ек­цию вер­ши­ны B на ось вра­ще­ния, а за M  — се­ре­ди­ну AC. Тогда BMCH  — пря­мо­уголь­ник (углы при вер­ши­нах C и H пря­мые по усло­вию, а при M по­то­му что вы­со­та сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной). Зна­чит,

Ука­зан­ное в за­да­че тело пред­став­ля­ет собой усе­чен­ный конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABHC, из ко­то­ро­го уда­лен конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем тре­уголь­ни­ка BHC во­круг той же оси. Зна­чит, объем этого тела равен раз­но­сти объ­е­мов усе­чен­но­го ко­ну­са и про­сто ко­ну­са. Най­дем их.

Усе­чен­ный конус имеет ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний и и вы­со­ту, рав­ную 8, по­это­му его объем равен

Объем ко­ну­са равен:

Окон­ча­тель­но,

Ответ:

Обо­зна­чим за H про­ек­цию вер­ши­ны B на ось вра­ще­ния, а за M  — се­ре­ди­ну AC. Тогда BMCH  — пря­мо­уголь­ник (углы при вер­ши­нах C и H пря­мые по усло­вию, а при M по­то­му что вы­со­та сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной). Зна­чит,

Ука­зан­ное в за­да­че тело пред­став­ля­ет собой усе­чен­ный конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABHC, из ко­то­ро­го уда­лен конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем тре­уголь­ни­ка BHC во­круг той же оси. Зна­чит, объем этого тела равен раз­но­сти объ­е­мов усе­чен­но­го ко­ну­са и про­сто ко­ну­са. Най­дем их.

Усе­чен­ный конус имеет ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний и и вы­со­ту, рав­ную 15, по­это­му его объем равен:

Объем ко­ну­са равен:

Окон­ча­тель­но,

Ответ:

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABS, у ко­то­ро­го Тогда

Опу­стим вы­со­ту AH на про­дол­же­ние BS. За­ме­тим, что и

При вра­ще­нии от­но­си­тель­но пря­мой BS тре­уголь­ник AHS за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SH и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH, а тре­уголь­ник AHB за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SB и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH. Тело, опи­сан­ное в усло­вии за­да­чи, пред­став­ля­ет собой пер­вый конус, из ко­то­ро­го уда­ли­ли вто­рой. Зна­чит,

Ответ:

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABS, у ко­то­ро­го Тогда

Опу­стим вы­со­ту AH на про­дол­же­ние BS. За­ме­тим, что и

При вра­ще­нии от­но­си­тель­но пря­мой BS тре­уголь­ник AHS за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SH и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH, а тре­уголь­ник AHB за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SB и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH. Тело, опи­сан­ное в усло­вии за­да­чи, пред­став­ля­ет собой пер­вый конус, из ко­то­ро­го уда­ли­ли вто­рой. Зна­чит,

Ответ: